在直角三角形ABO中,角BOA=90°,OA=8,OB=6,点P为它的内切圆C上任一点,求点P到顶点A,B,O距离的平方和的最大值和最小值.

Question

在直角三角形ABO中,角BOA=90°,OA=8,OB=6,点P为它的内切圆C上任一点,求点P到顶点A,B,O距离的平方和的最大值和最小值.

Answer 1

如图所示,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,建立直角坐标系xOy,则A(8,0),B(0,6),内切圆C的半径r＝(OA＋OB－AB)＝＝2.∴内切圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
设P(x,y)为圆C上任一点,点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d,则
d＝PA2＋PB2＋PO2
＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2
＝3x2＋3y2－16x－12y＋100
＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76.
∵点P(x,y)在圆C上,∴(x－2)2＋(y－2)2＝4.∴d＝3×4－4x＋76＝88－4x.
∵点P(x,y)是圆C上的任意点,∴x∈[0,4]．
∴当x＝0时,dmax＝88；当x＝4时,dmin＝72.