有一放在空气中的玻璃棒，折射率n=1.5，中心轴线长L=45cm，一端是半径为R1=10cm的凸球面．（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远

Question

有一放在空气中的玻璃棒，折射率n=1.5，中心轴线长L=45cm，一端是半径为R₁=10cm的凸球面．
（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？
（2）对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度ϕ₁时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求ϕ₂/ϕ₁（此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）．

Answer 1

（1）对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图复解18-1-1所示，图中C₁为左端球面的球心．
由正弦定理、折射定律和小角度近似得：(.AF1−R1)/(R1)＝(sinr1)/(sin(i1−r1))≈(r1)/(i1−r1)＝(1)/((i1/r1)−1)≈(1)/(n−1)…①
即 (.AF1)/(R1)−1＝(1)/(n−1)…②
光线PF₁射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心C₂一定在端面顶点B的左方，C₂B等于球面的半径R₂，如图复解18-1-1．仿照上面对左端球面上折射的关系可得：(.BF1)/(R2)−1＝(1)/(n−1)…③
又有   

.

BF1

＝L−

.

AF1

… ④
由②、③、④式并代入数值可得：R₂=5cm…⑤
即右端为半径等于5cm的向外凸的球面．
（2）设从无限远处物点射入的平行光线用①、②表示，令①过C₁，②过A，如图复解18-1-2所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M，即为左端球面对此无限远物点成的像点．现在求M点的位置．在△AC₁M中
(.AM)/(sin(π−ϕ1))＝(.AC)/(sinϕ1)＝(R1)/(sin(ϕ1−ϕ′1))… ⑥
又  nsinϕ′₁=sinϕ₁ …⑦
已知ϕ₁，ϕ′₁均为小角度，则有 (.AM)/(ϕ1)≈(R1)/(ϕ1(1−(1)/(n)))…⑧
与②式比较可知，

.

AM

≈

.

AF1

，即M位于过F₁垂直于主光轴的平面上．上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线．容易看出，从M射出C₂的光线将沿原方向射出，这也就是过M点的任意光线（包括光线①、②）从玻璃棒射出的平行光线的方向．此方向与主光轴的夹角即为ϕ₂，由图复18-1-2可得：(ϕ1)/(ϕ2)＝(.C1F1)/(.C2F1)＝(.AF1−R1)/(.BF1−R2)…⑨
由②、③式可得：(.AF1−R1)/(.BF1−R2)＝(R1)/(R2)
则 (ϕ2)/(ϕ1)＝(R1)/(R2)＝2… ⑩
答：（1）玻璃棒另一端应磨成右端为半径等于5cm的向外凸的球面．
（2）(Φ1)/(Φ2)为2．