如图所示，质量M=1kg的木板静置于倾角为θ=37°的足够长的固定斜面上某位置，质量m=1kg的可视为质点的小物块以初速度v0=5m/s从木板的下端冲上木板，同时在木板上端施加一个沿斜面向上的外

Question

如图所示，质量M=1kg的木板静置于倾角为θ=37°的足够长的固定斜面上某位置，质量m=1kg的可视为质点的小物块以初速度v₀=5m/s从木板的下端冲上木板，同时在木板上端施加一个沿斜面向上的外力F=14N，使木板从静止开始运动，当小物块与木板共速时，撤去该外力，最终小物块从木板的下端滑出．已知小物块与木板之间的动摩擦因素为μ₁=0.25，木板与斜面之间的动摩擦因数为μ₂=0.5，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．

（1）物块和木板共速前，物块和木板的加速度各为多少？
（2）木板的长度至少为多少？

Answer 1

（1）小物块冲上木板后，小物块与木板之间的滑动摩擦力为：f=μ₁mgcosθ=0.25×1×10×0.8=2N，
对小物块m有：ma₁=f+mgsinθ
联立并代入数据解得：a₁=8m/s²，方向沿斜面向下
对木板：Ma₂=F-Mgsinθ-μ₂（M+m）gcosθ+f
代入数据得：a₂=2m/s²，方向沿斜面向上
（2）当速度相等时，v₀-a₁t₁=v₁
0+a₂t₁=v₁
解得：t₁=0.5s
v₁=1m/s
所以，x_m1=(v0+v1)/(2)t1，xM1=(0+v1)/(2)t1，
速度相等前的相对位移为：△s=x_m1-x_M1=(v0t)/(2)=1.25m
撤去拉力F后，物块相对于仍然木板向上运动，所以加速度仍然是a₁=8m/s²，方向沿斜面向下
而木板：Mgsinθ+μ₂（M+m）gcosθ-f=Ma₃
代入数据得：a₃=12m/s²
方向沿斜面向下，做减速运动
当木板速度等于0后，由于Mgsinθ+μ₁mgcosθ<μ₂（M+m）gcosθ，所以小物块在木板上向上滑动时，木板静止不动．
木板停止需要的时间：t2=(v1)/(a3)=(1)/(12)s，
小物块的速度减小到0的时间：t3=(v1)/(a1)=(1)/(8)s，
此过程中小物块的位移：xm2=(v12)/(2a1)=(12)/(2×8)=(1)/(16)m，
木板的位移：xM2=(v12)/(2a3)=(12)/(2×12)=(1)/(24)m，
相对位移：△s′=x_m2-x_M2=(1)/(16)-(1)/(24)m=(1)/(48)m，
所以木板的长度最小为：L=△s+△s′=1.25+(1)/(48)m=(61)/(48)m．
答：（1）物块和木板共速前，物块和木板的加速度分别是8m/s²，方向沿斜面向下和2m/s²，方向沿斜面向上；
（2）木板的长度至少为(61)/(48)m．