设α1，α2，α3是一组三维向量．证明：α1，α2，α3线性无关的充要条件是任意一个三维向量都能被它们线性表出，并作出几何解释．

Question

设α₁，α₂，α₃是一组三维向量．证明：α₁，α₂，α₃线性无关的充要条件是任意一个三维向量都能被它们线性表出，并作出几何解释．

Answer 1

证明：必要性．
添加任意一个向量b，与α₁，α₂，α₃，b构成一个向量组
由于4个3维向量一定线性相关
∴α₁，α₂，α₃，b线性相关
而α₁，α₂，α₃线性无关
∴b一定可以由α₁，α₂，α₃线性表示
即任意一个三维向量都能被α₁，α₂，α₃线性表示．
充分性
由于任意一个三维向量都能被它们线性表出，有
三维单位向量组ɛ₁、ɛ₂、ɛ₃能被它们线性表示
而任意一个三维向量一定可以被三维单位向量组ɛ₁、ɛ₂、ɛ₃线性表示
∴α₁，α₂，α₃也可以被三维单位向量组ɛ₁、ɛ₂、ɛ₃线性表示
∴α₁，α₂，α₃与三维单位向量组ɛ₁、ɛ₂、ɛ₃等价
∴α₁，α₂，α₃线性无关
几何解释：
α₁，α₂，α₃线性无关，说明三个向量不共面．