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已知函数fx=2cosx(根号3*sinx+cosx)-1(1)求f(x)在闭区间0,兀/2上最大值和最小值(2)若f(x0)6/5,x0属于闭区间兀/4,兀/2,求cos2x0的值
题目详情
已知函数fx=2cosx(根号3*sinx+cosx)-1 (1)求f(x)在闭区间0,兀/2上
最大值和最小值
(2)若f(x0)6/5,x0属于闭区间兀/4,兀/2,求cos2
x0的值
最大值和最小值
(2)若f(x0)6/5,x0属于闭区间兀/4,兀/2,求cos2
x0的值
▼优质解答
答案和解析
(1)f(x)=2cosx(√3sinx+cosx)-1
=2√3sinxcosx+2(cosx)^2-1
=√3sin2x+cos2x
=2sin(2x+π/6),
x∈[0,π/2],
u=2x+π/6的值域是[π/6,7π/6],
v=sinu的值域是[-1/2,1],
∴f(x)=2v的最大值=2,最小值=-1.
(2)f(x0)=2sin(2x0+π/6)=6/5,
∴sin(2x0+π/6)=3/5,
x0∈[π/4,π/2],
∴2x0+π/6∈[2π/3,7π/6],
∴cos(2x0+π/6)=-4/5,
∴cos2x0=cos[(2x0+π/6)-π/6]=(-4√3+3)/10.
=2√3sinxcosx+2(cosx)^2-1
=√3sin2x+cos2x
=2sin(2x+π/6),
x∈[0,π/2],
u=2x+π/6的值域是[π/6,7π/6],
v=sinu的值域是[-1/2,1],
∴f(x)=2v的最大值=2,最小值=-1.
(2)f(x0)=2sin(2x0+π/6)=6/5,
∴sin(2x0+π/6)=3/5,
x0∈[π/4,π/2],
∴2x0+π/6∈[2π/3,7π/6],
∴cos(2x0+π/6)=-4/5,
∴cos2x0=cos[(2x0+π/6)-π/6]=(-4√3+3)/10.
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