（2014•赣州二模）已知函数f（x）=lnx-12ax2+bx．（1）当b=a-1时，讨论f（x）的单调性；（2）当a=0时，若函数f（x）有两个不同的零点，求b的取值范围；（3）在（2）的条件下，设x1、x2为函数f

Question

（2014•赣州二模）已知函数f（x）=lnx-(1)/(2)ax²+bx．
（1）当b=a-1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当a=0时，若函数f（x）有两个不同的零点，求b的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设x₁、x₂为函数f（x）的两个不同的零点．求证：x₁x₂＞e²（e为自然对数的底）．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=(1)/(x)-ax+a-1=(−ax2+(a−1)+1)/(x)=−((ax+1)(x−1))/(x)…（2分）
当a≥0时，因为ax+1＞0，故函数f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减…（3分）
当-1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和（-(1)/(a)，+∞）上递增，在（1，-(1)/(a)）上递减…（4分）
当a=-1时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）递增，
当a＜-1时，函数f（x）在（0，-(1)/(a)）和（1，+∞）上递增，在（-(1)/(a)，1）上递减…（6分）
（2）当a=0，f（x）=lnx+bx，令g（x）=lnx，h（x）=-bx，
要使得f（x）有两个零点，即使得g（x）和h（x）图象有两个交点（如图）…（6分）
容易求得g（x）和h（x）的切点为（e，1），所以0＜-b＜(1)/(e)，即-＜(1)/(e)＜b＜0．（8分）
（3）∵x₁、x₂为函数f（x）的两个零点，不妨设0＜x₁＜x₂，
所以lnx₁+bx₁=0，lnx₂+bx₂=0，
两式相减得：(lnx2−lnx1)/(x2−x1)=-b，两式相加得：(lnx2+lnx1)/(x2+x1)=-b …（9分）
要证x₁x₂＞e²，即证lnx₁+lnx₂＞2，
即证(lnx2−lnx1)/(x2−x1)＞(2)/(x2+x1)，即证ln(x2)/(x1)＞(2((x2)/(x1)−1))/((x2)/(x1)+1) …（11分）
令t=

作业帮用户 2017-10-05

问题解析

（1）当b=a-1时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f（x）的单调性；
（2）当a=0时，若函数f（x）有两个不同的零点，利用数形结合即可求b的取值范围；
（3）求函数的导数，构造函数，根据x₁、x₂为函数f（x）的两个不同的零点，即可证明不等式．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评：

本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，考查考生的应用，运算量大，综合性较强，属于难题．

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