设函数f(t)的傅里叶变换F(W),a为一常数.证明[f(at)](w)=1/|a|*F(w/a)

Question

设函数f(t)的傅里叶变换 F(W) ,a为一常数.证明[f(at)](w)=1/|a|*F(w/a)

Answer 1

F[f(at)](w)=1/|a|*F(w/a)：证明:
F[f(at)](w)=∫（负无穷到正无穷）f(at)*exp(-i2πft)dt,换元u=at,du=adt
1.a>0
原式=∫[f(u)*exp(-i2πfu/a)/a]du=(1/a)∫f(u)*exp[-i2π(f/a)u]dt
=(1/|a|)*F(w/a) (2πf=w)
2.a