设f(x)以2pi为周期,在实数系上连续,他的傅立叶级数在x0点收敛,求证：他的傅立叶级数在x0点收敛到f(x0).

Question

设f(x)以2 pi 为周期,在实数系上连续,他的傅立叶级数在x0点收敛,求证：他的傅立叶级数在x0点收敛到f(x0).

Answer 1

傅立叶级数收敛性的证明有点麻烦,往往基本的、概念性的问题都是这样.
大体思路是这样的：
1.将傅立叶系数代入级数展开式,积分内部用余弦公式合并一下,做一个换元u=t-x,可以得到被积函数：1/2+∑(k从1到N)cos(ku)
2.指定傅立叶核P(u)=该被积函数/π,容易证明P(u)在[-π,π]上积分为1.然后把cos(ku)表示成两个共轭复数的k次方的和的形式,就可以将P(u)由级数形式化成单项形式sin((N+1/2)u)/sin(u/2),而P(0)=N+1/2
3.然后代回去,证明原级数-f(x)→0.通过P(u)在[-π,π]上积分为1,可以把-f(x)合入被积函数,化简后,用一个数学上的重要定理(一般称为Riemann-Lebesgue引理,即k→∞时,f(x)sin(kx)在任意区间[a,b]上的积分为0,该引理的证明不难)即可获得证明.
详细的证明过程最好找一本参考书看看.