证明：定义在对称区间（-a,a）上的任意函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和

Question

证明：定义在对称区间（-a,a）上的任意函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和

Answer 1

设所定义的函数是:f(x),是一个任意函数,在(-a,a)是连续的.
因为：f(x)=1/2*[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]
令：g(x)=(1/2)*[f(x)+f(-x)],v(x)=(1/2)*[f(x)-f(-x)]
可证g(-x)=g(x),v(-x)=-v(x)
所以在对称区间（-a,a)上的任意函数f(x)均可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.