多元函数求极值为什么用AC-B^2判断有无极值?还有就是当AC-B^2＞0时,为什么A＞0有极小值,A＜0有极大值?

Question

多元函数求极值为什么用AC-B^2判断有无极值? 还有就是当AC-B^2＞0时,为什么A＞0有极小值,A＜0有极大值?

Answer 1

这个用二元函数的泰勒展开式就很好理解及证明了：
f(x,y) = f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[f"xx(a,b)(x-a)^2 + f"yy(a,b)(y-b)^2 + 2f"xy(a,b)(x-a)(y-b)] + h , 这里h为余项
=f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[A(x-a)^2 + C(a,b)(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b)] + h
由于f'x(a,b)=f'y(a,b)=0,
因此上式=f(a,b)+1/2*[A(x-a)^2 + C(a,b)(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b)] + h

在极小值点的邻域,其值都比它大.所以极小值点相当于在邻域内A(x-a)^2 + C(a,b)(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b) 恒大于0.
把它看成是x-a的2次式,恒大于0,表明A>0,且判别式小于0.即为(2B)^2-4AC0

极大值点同理,只是需要A