用四种不同的颜色去染平面上的点，每点染后只染一色．试证：此平面上一定存在长为1或3的线段，其两个端点染色相同．

Question

用四种不同的颜色去染平面上的点，每点染后只染一色．试证：此平面上一定存在长为1或√(3)的线段，其两个端点染色相同．

Answer 1

证明：如上图所示，作正作一个边长为2的正△ABC，并取各边中点D、E、F．
可见线段AF、BF、BD、CD、CE、AE、EF、DE、DF的长均为1，
线段AD、BE、CF的长均为√(3)．
对A、B、C三点分别用蓝、黑、红染色，D、E、F三点分别用绿、红、黑染色．
从图中可见C、E两点染色相同，与B、E两点染色相同，且线段CE=1、线段BE=√(3)．
所以此平面上一定存在长为1或√(3)的线段，其两个端点染色相同．