对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为{an}的“差数列”．（I）若{an}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{an}的一个通项公式；（II）若a1=2，{an}的“差数列”的通项

Question

对于数列{a _n }，定义数列{a _n+1 -a _n }为{a _n }的“差数列”．
（I）若{a _n }的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{a _n }的一个通项公式；
（II）若a ₁ =2，{a _n }的“差数列”的通项为2 ⁿ ，求数列{a _n }的前n项和S _n ；
（III）对于（II）中的数列{a _n }，若数列{b _n }满足a _n b _n b _n+1 =-21•2 ⁸ （n∈N ^* ），且b ₄ =-7．
求：①数列{b _n }的通项公式；②当数列{b _n }前n项的积最大时n的值．

Answer 1

（Ⅰ）如a _n =n ² ．（答案不惟一，结果应为a _n =An ² +Bn+C的形式，其中A≠0）（3分）
（Ⅱ）依题意a _n+1 -a _n =2 ⁿ ，n=1，2，3，
所以a _n =（a _n -a _n-1 ）+（a _n-1 -a _n-2 ）+（a _n-2 -a _n-3 ）++（a ₂ -a ₁ ）+a ₁ =2 ^n-1 +2 ^n-2 +2 ^n-3 ++2=2 ⁿ ．（5分）
从面{a _n }是公比数为2的等比数列，
所以 S n =(2(1- 2n ))/(1-2) = 2 n+1 -2. （7分）
（Ⅲ）由a _n b _n b _n+1 =-21•2 ⁿ 及a _n-1 b _n-1 b _n =-21•2 ⁿ ，两式相除得 (bn+1)/(bn-1) =(1)/(2) ，
所以数列{b _2n-1 }，{b _2n }分别是公比为 (1)/(2) 的等比数列
由b ₄ =-7得b ₂ =-14．
令n=1，由a ₁ b ₁ b ₂ =-21•2 ⁿ 得b ₁ =3•2 ⁶ ．
所以数列{b _n }的通项为 b n =

3• 2 6 •((1)/(2) ) (n-1)/(2) (n≥1，且n是奇数)

-14•((1)/(2) ) (n)/(2) -1 (n≥2，且n是偶数)

（10分）
②记数列{b _n }前n项的积为T _n ．
令 | b n b n+1 |＜1，得|-2|•((1)/(2) ) n-8 |＜1 ，
即 ((1)/(2) ) n-1 ＜(1)/(21) ，解得n≥13.
所以当n是奇数时，|b ₁ b ₂ |＞1，|b ₃ b ₄ |＞1，，|b ₁₁ b ₁₂ |＞1，|b ₁₃ b ₁₄ |＜1，|b ₁₅ b ₁₆ |＜1，
从而|T ₂ |＜|T ₄ |＜|T ₁₂ |，|T ₁₂ |＞|T ₁₄ |＞．
当n是偶数时，|b ₂ b ₃ |＞1，|b ₄ b ₅ |＞1，，|b ₁₂ b ₁₃ |＞1，|b ₁₄ b ₁₅ |＜1，|b ₁₆ b ₁₇ |＜1，
从而|T ₁ |＜|T ₃ |＜|T ₁₃ |，|T ₁₃ |＞|T ₁₅ |．
注意到T ₁₂ ＞0，T ₁₃ ＞0，且T ₁₃ =b ₁₃ T ₁₂ =3T ₁₂ ＞T ₁₂ ，
所以当数列{b _n }前n项的积T _n 最大时n=13．（14分）