求这个1+1/2^2+1/3^2+……1/n^n的值n为无限大虽然知道答案π^2/6去问老师老师也不讲虽然我才高一但很想知道解法

Question

求这个1+1/2^2+1/3^2+……1/n^n 的值 n为无限大
虽然知道答案π^2/6 去问老师 老师也不讲 虽然我才高一 但很想知道解法

Answer 1

大家知道：如果偶次方程a0-a1x²+a2x⁴-a3x∧6+.（-1）∧nanx∧2n=0---❶
有一根c,则-c也是它的根,现设❶有根c1、-c1、c2、-c2、.cn、-cn,
显然它们也是a0（1-x²/c1²）（1-x²/c2²）.（1-x²/cn²）=0---❷ 的根,
而且他们的常数项也相等,那么很显然x的同次幂项的系数也是相等的,
特别地,x²项的系数应当相等,即有等式：
a1=a0（1/c1²+1/c2²+.+1/cn²）----❸
打字好累!($ _ $),现类比考察方程：
sinx/x=0------❹ 由sinx的级数表达式：
sinx=x-x³/3!+x∧5/5!-.+（-1）∧n×x∧（2n+1）/（2n+1）!-------❺
则可以把❹写成：1-x²/3!+x⁴/5!-x∧6/7!+.+(-1)∧n×x∧（2n）/（2n+1）!-------❻
因此方程❹和❻有相同的根,即
π、-π、2π、-2π、.nπ、-nπ.
而这些值也是方程；
（1-x²/π²）（1-x²/2²π²）.（1-x²/n²π²）=0------❼的根,
比较❻和❼,类比❸式可以得到：
1/3!=1/π²+1/2²π²+.+1/n²π²
由此得到：
1/1²+1/2²+.1/n²=π²/6
证毕.不懂再问我我会说的详细点,祝学习进步!