求一三角形的垂足三角形周长已知三角形的三个顶点坐标(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),三条高的垂足为D,E,F,求三角形DEF的周长.

Question

求一三角形的垂足三角形周长
已知三角形的三个顶点坐标(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),三条高的垂足为D,E,F,求三角形DEF的周长.

Answer 1

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
设AB=c,BC=a,AC=b,因三条高的垂足为D,E,F
bcosA=AF,ccosA=AE,ccosB=BD,acosB=BF,acosC=CE,bcosC=CD
则EF²=(bcosA)²+(ccosA)²-2bcosA*2ccosA*cosA
=cos²A(b²+c²-2bccosA)=cos²Aa²
EF=acosA
同理DF=bcosB,ED=ccosC
则△DEF的周长=acosA+bcosB+ccosC
b²+c²-2bccosA=a²
则cosA=(b²+c²-a²)/2bc
则acosA+bcosB+ccosC
=a(b²+c²-a²)/2bc+b(a²+c²-b²)/2ac+c(b²+a²-c²)/2ab
=(a²b²+c²a²-a^4+b²a²+b²c²-b^4+c²b²+c²a²-c^4)/2abc
=(2a²b²+2b²c²+2c²a²-a^4-b^4-c^4)/2abc
a²=(x2-x3)²+(y2-y3)²,b²=(x1-x2)²+(y1-y3)²,c²=(x1-x2)²+(y1-y2)²
自己化简吧