某地政府落实党中央“精准扶贫”政策，解决一贫困山村的人畜用水困难，拟修建一个底面为正方形（由地形限制边长不超过10m）的无盖长方体蓄水池，设计蓄水量为800m3．已知底面造价为16

Question

某地政府落实党中央“精准扶贫”政策，解决一贫困山村的人畜用水困难，拟修建一个底面为正方形（由地形限制边长不超过10m）的无盖长方体蓄水池，设计蓄水量为800m³．已知底面造价为160元/m²，侧面造价为100元/m²．
（I）将蓄水池总造价f（x）（单位：元）表示为底面边长x（单位：m）的函数；
（II）运用函数的单调性定义及相关知识，求蓄水池总造价f（x）的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）设蓄水池高为h，则h=(800)/(x2)，…（2分）
∴f(x)=160x2+100•4x•h=160x2+100•4x•(800)/(x2)…（4分）
=160(x2+(2000)/(x))，(0<x≤10)…（6分）
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（0，10]，且x₁<x₂，则f(x1)-f(x2)=160[(x12+(2000)/(x1))-(x22+(2000)/(x2))]
=(160(x1-x2)[x1x2(x1-x2)-2000])/(x1x2)…（8分）
∵0<x₁<x₂≤10，∴x₁x₂>0，x₁-x₂<0，x₁x₂（x₁+x₂）<2000，
∴y=f（x₁）-f（x₂），即f（x₁）>f（x₂），∴y=f（x）在x∈（0，10]上单调递减…（10分）
故x=10当时，f_min（x）=f（10）=48000…（11分）
答：当底面边长为10m时，蓄水池最低造价为48000元…（12分）