若M为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠MF1F2=2∠MF2F1=2α（α≠0），则椭圆的离心离是．

Question

若M为椭圆上一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，且∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁=2α（α≠0），则椭圆的离心离是______．

Answer 1

设MF₁=m，MF₂=n，由正弦定理得(m)/(sinα)=(n)/(sin2α)，∴n=2mcosα．
又由椭圆的定义知，m+2mcosα=2a，再由 mcos2α+2mcosα•cosα=2c 可得，
∴e=(c)/(a)=(2c)/(2a)=(mcos2α+2mcosα•cosα)/(m+2mcosα)=(cos2α+2cosα•cosα)/(1+2cosα)=(4• cos2α−1)/(2cosα+1)=2cosα-1，
故答案为 2cosα-1．