设γ0是数域K上非齐次线性方程组AX=B的特解，η1，η2，…，ηs是该方程组的导出组的基础解系，则以下命题中错误的是（）A.γ0，γ0-η1，γ0-η2，…，γ0-ηs是AX=B的一组线性无关解向量B.

Question

设γ₀是数域K上非齐次线性方程组AX=B的特解，η₁，η₂，…，η_s是该方程组的导出组的基础解系，则以下命题中错误的是（　　）

A. γ₀，γ₀-η₁，γ₀-η₂，…，γ₀-η_s是AX=B的一组线性无关解向量

B. AX=B的每个解均可表为γ₀，η₁，2η₂，…，sη_s的线性组合

C. 2γ₀+η₁+η₂+…+η_s是AX=B的解

D. AX=B的每个解均可表为γ₀，γ₀+η₁，γ₀+η₂，…，γ₀+η_s的线性组合

Answer 1

①选项A．显然γ₀，γ₀-η₁，γ₀-η₂，…，γ₀-η_s是AX=B的一组解向量
同时，假设存在一组实数x_i（i=0，1，…，s），使得
x₀γ₀+x₁（γ₀-η₁）+…+x_s（γ₀-η_s）=0
即（x₀+x₁+…+x_s）γ₀-x₁η₁-x₂η₂-…-x_sη_s=0…（*）
而Aγ₀=B，Aη_i=0（i=1，2，…，s）
因此在（*）左右两边同时左乘A，得到（x₀+x₁+…+x_s）B=0
又B≠0，因而x₀+x₁+…+x_s=0
再代入到（*）式，得到x₁=x₂=…=x_s=0，
从而x₀=0
因此γ₀，γ₀-η₁，γ₀-η₂，…，γ₀-η_s是AX=B的一组线性无关解向量
故A正确；
②选项B．由于η₁，2η₂，…，sη_s依然是AX=0的基础解系，γ₀也依然是AX=B的一个特解
因此AX=B的每个解均可表为γ₀，η₁，2η₂，…，sη_s的线性组合
故B正确；
③选项C．由于η₁+η₂+…+η_s是AX=0的解，但2γ₀不是AX=B的一个特解，因此
2γ₀+η₁+η₂+…+η_s不是AX=B的解
故C错误；
④选项D．同选项A的分析一样，γ₀，γ₀+η₁，γ₀+η₂，…，γ₀+η_s是AX=B的一组线性无关解向量
从而AX=B的每个解均可表为γ₀，γ₀+η₁，γ₀+η₂，…，γ₀+η_s的线性组合
故D正确．
故选：C．