证明（0,1不是紧集-实分析里的也不知道我翻译的对吗.通过建立（0,1的没有有限子覆盖的开覆盖证明（0,1不是紧集题是这样的：showthat（0,1isnotcompactbyconstructinganopencoverof(0,1]t

Question

证明（0,1】不是紧集-实分析里的
也不知道我翻译的对吗.通过建立（0,1】的没有有限子覆盖的开覆盖证明（0,1】不是紧集 题是这样的：show that （0,1】is not compact by constructing an open cover of (0,1]that does not have a finite subcover.

Answer 1

我做的开覆盖 B（Xi,Xi/2), Xi∈（0,1].思路如下,讨论限于欧几里得空间. (这上面编辑符号有点麻烦,尽量文字叙述了) 你一定知道,紧集和有界闭集是等价的说法. 我们假设已经做出(0,1]的这样的一个开覆盖,此开覆盖没有有限子覆盖,直接证明其没有有限子覆盖的话,难度很大,应该用反证法,也就是：再假设找到了他的有限子覆盖,然后推出矛盾.一个简单的方法就是,从他是紧急推出(0,1]是闭集（或者还有其他矛盾,后面详述）,这个矛盾是显然的.看起来应该在0那一点动点手脚. 此外我们知道,如果y不属于集合E,则对于任意的x∈E,存在δx>0,使得B(x,δx)∩B(y,δx)=空集(否则,存在x∈E,对任意的δ>0……能得到一个点列极限同时是x和y,于是x=y,矛盾) 我们就选这样的B(x,δx),x∈E作为E的开覆盖,它是没有有限子覆盖的.为了证明, 假设B(x1,δ1),B(x2,δ2),...,B(xm,δm),m∈N 是他的有限子覆盖. 令δ0 = min{δ1,δ2,...,δm},于是B(y,δ0)∩E=空集,y不属于E的闭包. 很自然想到,在（0,1]中,0属于它的闭包,我们选取y=0,推出y不属于(0,1]的闭包这个矛盾即可. 为此只要做开覆盖B（Xi,Xi/2), Xi∈（0,1],这样做的理由是,其中任意一个开集都能找到y=0的邻域和它的交集为空.
麻烦采纳,谢谢!