完全相同的十三个扁长木块紧挨着放在水平地面上，如图所示，每个木块的质量m=0.40kg，长度L=0.5m．它们与地面间的动摩擦因数为μ1=0.10，原来所有木块处于静止状态．左方第一个木块的左端

Question

完全相同的十三个扁长木块紧挨着放在水平地面上，如图所示，每个木块的质量m=0.40kg，长度L=0.5m．它们与地面间的动摩擦因数为μ₁=0.10，原来所有木块处于静止状态．左方第一个木块的左端上方放一质量为M=1.0kg的小铅块，它与木块间的动摩擦因数为μ₂=0.20．物体所受最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，现突然给铅块一向右的初速度v₀=5m/s，使其开始在木块上滑行．（重力加速度g=10m/s²，设铅块的长度与木块长度L相比可以忽略．）
（1）铅块在第几块木块上运动时，能带动它右面的木块一起运动？
（2）小铅块最终是滑出所有木块，还是停在那块木块上？若停在木块上，求出铅块停在木块上的位置．

Answer 1

（1）木块受到铅块提供的滑动摩擦力f₀=μ₂Mg=2.0N
有铅块的那个木块与地面间的最大静摩擦力为f₁=μ₁（M+m）g=1.4N
其余每个木块与地面间的最大静摩擦力为f₂=μ₁mg=0.4N
设铅块到第n个木块时，第n个木块及后面的木块开始在地面上滑动，则
  f₀＞（13-n）f₂+f₁，
 得 n＞11.5
即当铅块滑到第12个木块左端时，12、13两木块开始在地面上滑动．
（2）铅块刚滑上第12个木块左端时的速度v₁，由动能定理得
-μ₂Mg•11L=(1)/(2)M

v

2 1

-(1)/(2)M

v

2 0

解得v₁=√(3)m/s
铅块滑动的加速度a₀=-(μ2Mg)/(M)=-μ₂g=-2m/s²
此时第12、13的加速度a₁=(μ2Mg−μ1(M+2m)g)/(2m)=0.25m/s²
以第12、13两木块为参考系，铅块滑到第12个木块右端时相对木块的速度v₂满足
  

v

2 2

−

v

2 1

=2（a₀-a₁）L
解得，v₂=(√(3))/(2)m/s＞0
故铅块可以滑上第13个木块，在第13个木块上滑动时，木块的加速度为
   a₂=(μ2Mg−μ1(M+m)g)/(m)=1.5m/s²
以第13个木块为参照，铅块相对木块13静止时滑行的距离为s=(0−v22)/(2(a0−a2))=0.107m＜L
所以，铅块最终停在第13块木块上，距离其左端0.107m．
答：
（1）铅块在第12块木块上运动时，能带动它右面的木块一起运动．
（2）铅块最终停在第13块木块上，距离其左端0.107m．