已知某企业的总收入函数为R=26x-2x2-4x3，总成本函数为C=8x+x2，其中x表示产品的产量．求利润函数、边际收入函数、边际成本函数、以及企业获得最大利润时的产量和最大利润．

Question

已知某企业的总收入函数为R=26x-2x²-4x³，总成本函数为C=8x+x²，其中x表示产品的产量．求利润函数、边际收入函数、边际成本函数、以及企业获得最大利润时的产量和最大利润．

Answer 1

由利润函数公式得，利润函数L（x）为：
L（x）=R-C
=（26x-2x²-4x³）-（8x+x²）
=18x-3x²-4x³，
其中，x＞0．
边际收入函数为：
MR=(dR)/(dx)=（26x-2x²-4x³）′
=26-4x-12x²，
其中，x＞0．
边际成本函数为：
MC=(dC)/(dx)=（8x+x²）′
=8+2x，
其中，x＞0．
利润函数对x求导数，可得：
L′（x）=18-6x-12x²，
令L′（x）=18-6x-12x²=0，
并注意到x＞0，解之得x=1，且有：
当0＜x＜1时，L′（x）＞0；
当x＞1时，L′（x）＜0．
所以当x=1时，L（x）达到极大值，也是最大值，
于是，当产量为1时利润最大，最大利润为L（1）=11．