已知函数f(x)＝13x3−ax2+1（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值；（Ⅱ）若a＞0，函数y=f（x）在区间（a，a2-3）上存在极值，求a的取值范围；（Ⅲ

Question

已知函数f(x)＝(1)/(3)x3−ax2+1（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若a＞0，函数y=f（x）在区间（a，a ²-3）上存在极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a＞2，求证：函数y=f（x）在（0，2）上恰有一个零点．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=x²-2ax，…（1分）
f'（1）=1-2a，…（2分）
因为曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0平行
所以1-2a=-1，…（3分）
所以a=1．                                                 …（4分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，…（5分）
即f'（x）=x（x-2a）=0，所以 x=0或x=2a．                …（6分）
因为a＞0，所以x=0不在区间（a，a²-3）内，
要使函数在区间（a，a ²-3）上存在极值，只需a＜2a＜a²-3．      …（7分）
所以a＞3．                                                 …（9分）
（Ⅲ）证明：令f'（x）=0，所以 x=0或x=2a．
因为a＞2，所以2a＞4，…（10分）
所以f'（x）＜0在（0，2）上恒成立，函数f（x）在（0，2）内单调递减．
又因为f（0）=1＞0，f(2)＝(11−12a)/(3)＜0，…（11分）
所以f（x）在（0，2）上恰有一个零点．                             …（13分）