一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，最后还剩下22米，这捆电线原来长多少米？

Question

一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，最后还剩下22米，这捆电线原来长多少米？

Answer 1

（1）由题意可得S_n=na₁+(n(n−1))/(2)d=n²，
故(Sn+64)/(n)=(n2+64)/(n)=n+(64)/(n)≥2√(n•(64)/(n))=16，
当且仅当n=(64)/(n)，即n=8时取等号，
故(Sn+64)/(n)(n∈N*)的最小值为16
（2）由（1）可知(n+1)/(SnSn+2)=(n+1)/(n2(n+2)2)=(1)/(4)[(1)/(n2)−(1)/((n+2)2)]，
故(2)/(S1S3)+(3)/(S2S4)+…+(n+1)/(SnSn+2)
=(1)/(4)((1)/(12)−(1)/(32))+(1)/(4)((1)/(22)−(1)/(42))+…+

作业帮用户 2017-09-21

问题解析

（1）由已知和求和公式可得S_n，代入式子由基本不等式可得；（2）可得(n+1)/(SnSn+2)=(n+1)/(n2(n+2)2)=(1)/(4)[(1)/(n2)−(1)/((n+2)2)]，代入结合消去规律可得
原式=(1)/(4)[(1)/(12)+(1)/(22)−(1)/((n+1)2)−(1)/((n+2)2)]，由放缩法可得．

名师点评

本题考点：

等差数列的前n项和；数列的函数特性；数列与不等式的综合．

考点点评：

本题考查等差数列的前n项和公式，涉及基本不等式和放缩法证明不等式，属中档题．

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