复变与积分变换若f（t）=（sinkt）/t,则F(s)=?

Question

复变与积分变换
若f（t）=（sinkt）/t,则F(s)=?

Answer 1

F(s)=积分e^(-st)（sinkt）/t dt
在无穷处积分项趋向于0,主要贡献来自t=0附近
一种可以用stationary phase 来做
另一种是级数法,叫watson什么公式的
sinkt~kt-(kt)^3/3!+(kt)^5/5!-...
sinkt/t~k-(k^3/3!)t^2+(k^5/5!)t^4-...
所以
F(s)=kL[1]-(k^3/3!)L[t^2]+(k^5/5!)L[t^4]-...
=k/s-k^3/(3s^3)+k^5/(5s^5)-...
正好是arctan(k/s)的taylor级数展开
所以
F(s)=arctan(k/s)