如图所示，是某“汤勺”示意图，由一细长柄AB与一半球BC构成，且AB与半球相切，切点为B．已知半球的半径为R，AB柄的长度为L，L：R=15：1，现用一细线系住A点，并将细线竖直悬挂．“汤勺

Question

如图所示，是某“汤勺”示意图，由一细长柄AB与一半球BC构成，且AB与半球相切，切点为B．已知半球的半径为R，AB柄的长度为L，L：R=

√(15)：1，现用一细线系住A点，并将细线竖直悬挂．“汤勺”内盛满密度为1.2×10³kg/m³的汤，如果不计“汤勺”的质量，则“汤勺”所盛汤的最大深度是（　　）

A.

(3)/(4)R

B.

(2)/(3)R

C.

(1)/(3)R

D.

(1)/(4)R

Answer 1

（1）过A作水面的垂线，垂足为E，垂线与BC交于点F，
水面与“汤勺”的另一交点为D，如图所示．
（2）由作图过程及数学知识可知：直线AE一定过半球的球心，
点F就是半球的球心BF=CF=R；由题意知：AB=L，L：R=√(15)：1，
所以AB=√(15)R，△CEF是直角三角形；
△ABF∽△CEF，由相似三角形的知识得：(AB)/(CE)=(BF)/(EF)，
所以CE=(AB)/(BF)=(√(15)R)/(R)EF=√(15)EF，即CE=√(15)EF；
在直角△CEF中，由勾股定理得：CE²+EF²=CF²，即：（√(15)EF）2+EF²=R²，
则EF=(R)/(4)，则“汤勺”内水的最大高度是h=R-EF=R-(R)/(4)=(3)/(4)R．
故选A．