新年快乐A,B,C是三角形ABC的三个顶点,AB^2=AB·AC+AB·CB+BC·CA,（AB,AC,CB,CA都是向量哦）,则它是什么三角形?

Question

新年快乐
A,B,C是三角形ABC的三个顶点,AB^2=AB·AC+AB·CB+BC·CA,（AB,AC,CB,CA都是向量哦）,则它是什么三角形?

Answer 1

楼上的回答虽然正确 但是也太过于直接了吧,以至于让我怀疑楼上是不是仅猜到了答案
分析：
因为 |AB|^2=向量AB·向量AC+向量AB·向量CB+向量BC·向量CA
猜想BC垂直于AC 假如猜想成立 那么应该满足|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2 所以要把等式右边中的向量AB转化成AC和BC的表达式,即：向量AB=向量AC+向量CB 化简完了就差不多了
解 ：
向量AB=向量AC+向量CB
所以
|AB|^2=向量AB·向量AC+向量AB·向量CB+向量BC·向量CA
=|AC|^2+|CB|^2+3|AC||CB|cos(180度-角C)
=|AC|^2+|CB|^2-3|AC||CB|cos角C （1）
由余弦定理有：
|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2-2|AC||BC|cos角C （2）
由（1）、（2）可知:
cos角C=0
由于角C是三角形的内角,所以角C=90度
所以三角形ABC是直角三角形
楼上的错误在于,把向量的式子按照“分配律”进行了运算,即提取了公有的向量.但是,向量与向量之间的乘法,等于向量之间的模长之积乘以两个向量的夹角的余弦值 所以单纯的提取向量出来是没有意义的,没有考虑到夹角的问题 所以只能说楼上运气极佳 过年之际蒙对了一道题