有49个不重复号码（1-49）,任意挑选两组号码：第一组号码共六个,第二组是一个号码.以上均不重复.如果我挑选第二组号码是“1”,请问综合自然几率是多少?

Question

有49个不重复号码（1-49）,任意挑选两组号码：第一组号码共六个,第二组是一个号码.
以上均不重复.如果我挑选第二组号码是“1”,请问综合自然几率是多少?

Answer 1

从题意看,两个分组的编号不是根据构造的顺序,而是根据组内号码的数量确定的.所求几率是一个比值：分母是所有可能的构造分组的方案数；分子是第二组（即只有一个号码的那个分组）为 1 的构造分组的方案数.
1、分母：
　　两个分组共含 7 个号码；7 个号码分为两部分：6 个一组,1 个一组.整个问题可分 2 步完成：
（1）先从全部 49 个号码中,任选 7 个；——因为只要 7 个号码的内容有所不同,构造出来的分组就是不同的.
　　这样 “选” 的方案数为：C（49,7）；
（2）再将 7 个号码分为 2 组：选出 6 个为 “第一组”；剩余 1 个自然构成 “第二组”.或者先选 1 个定为 “第二组”；剩余 6 个自然成为 “第一组”；——结果是一样的：
　　这样 “分” 的方案数为：C（7,6）= C（7,1）；
所以：
　　分母 = C（49,7）× C（7,1）；
2、分子：
　　同样分两步：
（1）从 49 个号码中：先把 1 选出来；再从剩余的 48 个中,任选 6 个：
　　1 × C（48,6）= C（48,6）；
（2）把（1）中选出的 7 个号码（已确知包含 1）,分为两组——其中,号码 1 必须单独一组（剩余的自然构成另一组）.所以,分组的方案数就只有 1 种了.
所以：
　　分子 = C（48,6）× 1 = C（48,6）；
所以：
　　几率 = C（48,6）÷ [ C（49,7）× C（7,1）] = 1 / 49；
问题的答案是很简单的：1 / 49.从这个结果来看,本题应该有更简单的解法.确实如此,本题可以转化为以下等价的问题：
　　把 49 个号码分为 3 组：1 个一组（第二组）；6 个一组（第一组）；42 个一组（被排除的号码）.问题是：1 个一组的那个分组（即第二组）,其唯一的号码为 1 的几率是多少?
分组本身无顺序,它们是靠组内号码的数量加以区别的.于是：
　　总的分组方案数：C（49,1）× C（48,6）× C（42,42）；
　　第二组为 1 的方案数：1 × C（48,6）× C（42,42）；
　　二者的比值就是最后的几率 —— 答案很明显了.