数列题,求详解.已知两个等差数列5,8,11,…302与3,7,11,…399公共项个数为?答案不是一个.请好好想想.

Question

数列题,求详解.已知两个等差数列5,8,11,…302与3,7,11,…399公共项个数为?
答案不是一个.请好好想想.

Answer 1

考点：等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列,且公差为原来两个公差的最小公倍数求解,
（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式,可用不定方程的求解方法来求解．
解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an},则a1=11
∵数列5,8,11,…与3,7,11,…公差分别为3与4,
∴{an}的公差d=3×4=12,
∴an=11+12（n-1）=12n-1．
又∵5,8,11,…与3,7,11,…的第100项分别是302与399,
∴an=12n-1≤302,即n≤25.5．
又∵n∈N*,
∴两个数列有25个相同的项．
故选A
解法二：设5,8,11,与3,7,11,分别为{an}与{bn},则an=3n+2,bn=4n-1．
设{an}中的第n项与{bn}中的第m项相同,
即3n+2=4m-1,∴n=4/3 m-1
又m、n∈N*,可设m=3r（r∈N*）,得n=4r-1．
根据题意得 1≤3r≤100 1≤4r-1≤100 解得
1/2 ≤r≤101/4
∵r∈N*
从而有25个相同的项
故选A