数列1,1+3,1+3+9,…,1+3+9+…+3^n各项和为

Question

数列1,1+3,1+3+9,…,1+3+9+…+3^n各项和为

Answer 1

首先对 1+3+9+……+3^n求和.这是等比数列,其和为(1-3^(n+1))/(1-3)=3^(n+1)/2-1/2.
于是所求数列等价于：3^1/2-1/2+3^2/2-1/2+3^3/2-1/2+……+3^(n+1)/2-1/2=3^1+3^2+3^3+……+3^(n+1)-(n+1)*1/2,前面加的这一串又是一个等比数列.其和为(1/2)*(3-3^(n+2))/(1-3)=3^(n+2)/4-3/4.
所以整个数列求和的结果是3^(n+2)/4-3/4-(n+1)/2.
可以取值验证一下.
n=1时,数列为1,1+3^1,其和为5.我算出的代表式值也为3^3/4-3/4-2/2=5.
n=2时,数列为1,1+3^1,1+3^1+3^2,其和为18.我算出的代表式值也为3^4/4-3/4-3/2=18.