（1）如图1，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，求证：∠BPC=90°+12∠A；（2）如图2，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP的交点，请直接写出∠BPC与∠A的关系；（3）如图3，点P是△ABC的

Question

（1）如图1，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，求证：∠BPC=90°+(1)/(2)∠A；
（2）如图2，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP的交点，请直接写出∠BPC与∠A的关系；
（3）如图3，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，请直接∠BPC与∠A的关系．

Answer 1

证明：（1）∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，
∵∠BPC=120°，
∴∠ABC+∠ACB=60°，
∵BP、CP是角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠BPC=90°+(1)/(2)∠A；
（2）∠P=(1)/(2)∠A，理由如下：
∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P，
∴∠PBC=(1)/(2)∠ABC，∠PCD=(1)/(2)∠ACD，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P，
∴(1)/(2)（∠A+∠ABC）=∠PBC+∠P=(1)/(2)∠ABC+∠P，
∴∠P=(1)/(2)∠A；
（3）∠P=90°-(1)/(2)∠A，理由如下：
∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC=(1)/(2)（∠A+∠ACB），∠PCB=(1)/(2)（∠A+∠ABC），
又∵∠PBC+∠PCB+∠P=180°，
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-(1)/(2)（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-(1)/(2)（180+∠A）
=90°-(1)/(2)∠A．