已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．（1）在图中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹），判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3

Question

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．

（1）在图中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹），判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，tanB=(3)/(4)，求⊙O的半径长．

Answer 1

（1）直线BC与⊙O相切．理由如下：
作图如图所示，连接OD，
∵AD为角平分线，∴∠OAD=∠CAD，
又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴直线BC与⊙O相切；
（2）在Rt△ABC中，∵AC=3，tanB=(3)/(4)，
∴(AC)/(BC)=(3)/(4)，解得BC=4，由勾股定理，得AB=√(AC2+BC2)=5，
设OA=OD=R，则OB=5-R，
∵∠ODB=∠ACB=90°，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC，
∴(OD)/(AC)=(OB)/(AB)，即(R)/(3)=(5−R)/(5)，
解得R=(15)/(8)，∴⊙O的半径为(15)/(8)．