我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．你可以利用这一结论解决问题：如图，点P在以MN（南北方向）为直径的O上

Question

我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．你可以利用这一结论解决问题：
如图，点P在以MN（南北方向）为直径的 O上，MN=8，PQ⊥MN交 O于点Q，垂足为H，PQ≠MN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF．

（1）比较

CQ

与

DQ

的大小；
（2）若OH=2√(2)，求证：OP∥CD；
（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为α，试确定cosα=(√(3))/(2)时，点P的位置．

Answer 1

（1） ∵PE=PF，PH⊥EF，
∴PH平分∠FPE，
∴∠DPQ=∠CPQ，
∴

CQ

=

DQ

；
（2）证明：连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，
∵OH=2√(2)，OP=4，
∴PH=√(42-(2√(2))2)=2√(2)，
∴△OPH为等腰直角三角形，
∴∠OPQ=45°，
而OP=OQ，
∴△OPQ为等腰直角三角形，
∴∠POQ=90°，
∴OP⊥OQ，
∵

CQ

=

DQ

，
∴OQ⊥CD，
∴OP∥CD；
（3） 直线CD交MN于A，如图，
∵cosα=(√(3))/(2)，
∴∠α=30°，即直线MN、CD相交所成的锐角为30°，
而OB⊥CD，
∴∠AOB=60°，
∵OH⊥PQ，
∴∠POH=60°，
在Rt△POH中，∵sin∠POH=(PH)/(OP)，
∴PH=4sin60°=2√(3)，
即点P到MN的距离为2√(3)．