某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x＝3−km+1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能

Question

某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x＝3−(k)/(m+1)(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（Ⅰ）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（Ⅱ）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

Answer 1

（I）由题意可知当m=0时，x=1（万件），∴1=3-k，即k=2，
∴x＝3−(2)/(m+1)，
每件产品的销售价格为1.5×(8+16x)/(x)（元），
∴2008年的利润y＝x[1.5×(8+16x)/(x)]−(8+16x+m)
=4+8x−m＝4+8(3−(2)/(m+1))−m
=−[(16)/(m+1)+(m+1)]+29(m≥0)；
（II）当m≥0时，(16)/(m+1)+(m+1)≥2√((16)/(m+1)•(m+1))＝8，
∴y≤-9+29=21，
当且仅当(16)/(m+1)＝m+1，即m=3（万元）时，y_max=21（万元）．
答：该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．