在淘宝网上，某店铺专卖黄冈某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤5）满足：当1＜x≤3时，y=a（x-3）2+bx

Question

在淘宝网上，某店铺专卖黄冈某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤5）满足：当1＜x≤3时，y=a（x-3）²+(b)/(x−1)，（a，b为常数）；当3＜x≤5时，y=-70x+490．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．
（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大（x精确到0.01元/千克）．

Answer 1

（1）因为x=2时，y=700；x=3时，y=150，所以

(b)/(2)＝150

a+b＝700

，解得a=400，b=300
∴每日的销售量y＝

400(x−3)2+(300)/(x−1)(1＜x≤3)

−70x+490(3＜x≤5)

；…4'
（2）由（1）知，当1＜x≤3时，每日销售利润f(x)＝[400(x−3)2+(300)/(x−1)](x−1)=400（x-3）²（x-1）+300=400（x³-7x²+15x-9）+300（1＜x≤3）
∴f'（x）=400（3x²-14x+15），∴当x＝(5)/(3)，或x=3时，f'（x）=0
当x∈(1，(5)/(3))时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈((5)/(3)，3)时f'（x）＜0，f（x）单调递减．
∴x＝(5)/(3)是函数f（x）在（1，3]上的唯一极大值点，f((5)/(3))＝400×(32)/(27)+300＞700；…8'
当3＜x≤5时，每日销售利润f（x）=（-70x+490）（x-1）=-70（x²-8x+7）
∴f（x）在x=4有最大值，且f（4）=630＜f((5)/(3))…11'
综上，销售价格x＝(5)/(3)≈1.67元/千克时，每日利润最大…12'