已知正数A,B,C,常用对数分别为a,b,c且a+b+c=0,求证A^（1／b+1／c）+B^(1／c+1／a）+C^（1／a+1／b）=1／1000

Question

已知正数A,B,C,常用对数分别为a,b,c且a+b+c=0,求证A^（1／b+1／c） +B^(1／c+1／a）+C^（1／a+1／b）= 1／1000

Answer 1

证明：因为i lgA=a lgB=b lgC=c a+b+c=0
所以 a+b= -c a+c= -b b+c= -a
将要证明的左边取对数,可得：
lg[A^(1/b+1/c)+B^(1/c+1/a)+C^(1/a+1/b)=(1/b+1/c)lgA+(1/c+1/a)lgB+(1/b+1/a)lgC
=(1/b+1/c)a+(1/c+1/a)b+(1/b+1/a)c
=a/b+a/c+b/c+b/a+c/b+c/a
=(a+c)/b+(b+c)/a+(a+b)/c
=(-b)/b+(-a)/a+(-c)/c
=(-1)+(-1)+(-1)
= -3
=lg10^(-3)
= lg(1/1000)
所以 A^（1／b+1／c） +B^(1／c+1／a）+C^（1／a+1／b）=1/1000
证毕