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已知a,b,均为正实数,且a+b=1,求（a+1/a)(b+1/b)的最小值
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已知a,b,均为正实数,且a+b=1,求（a+1/a)(b+1/b)的最小值
▼优质解答
答案和解析
由a,b,均为正实数,且a+b=1可得ab<=1/4
原式=ab+1/(ab)+(a/b+b/a)=ab+1/(ab)+(a^2+b^2)/(ab)=ab+1/(ab)+(a^2+b^2+2ab)/(ab)-2
=ab+1/(ab)+(a+b)^2/(ab)-2=ab+1/(ab)+1/(ab)-2=ab+2/(ab)-2
于f(x)=x+2/x,在（0,根号2）上单调递减,故当ab=1/4时
原式取最小值=25/4
原式=ab+1/(ab)+(a/b+b/a)=ab+1/(ab)+(a^2+b^2)/(ab)=ab+1/(ab)+(a^2+b^2+2ab)/(ab)-2
=ab+1/(ab)+(a+b)^2/(ab)-2=ab+1/(ab)+1/(ab)-2=ab+2/(ab)-2
于f(x)=x+2/x,在（0,根号2）上单调递减,故当ab=1/4时
原式取最小值=25/4
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