（2012•株洲模拟）如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二

Question

（2012•株洲模拟）如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角E-DF-C的余弦值；
（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出(BP)/(BC)的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）AB∥平面DEF，理由如下
如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，
又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF．
∴AB∥平面DEF．
（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角
∴AD⊥BD
∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M，这时EM∥AD
∴EM⊥平面BCD
过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角
在Rt△EMN中，EM=1，MN=(√(3))/(2)，EN=(√(7))/(2)，所以cos∠MNE=(√(21))/(7)．
∴tan∠MNE=(√(3))/(2)，(sin∠MNE)/(cos∠MNE)＝(√(3))/(2)，(sin2∠MNE)/(cos2∠MNE)＝(3)/(4)
∴cos∠MNE=

作业帮用户 2017-10-29

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问题解析

（1）要证明线面平行，在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BEF中三条已知直线中，EF可能与AB平行，故可以以此为切入点进行证明．
（2）要求二面角的余弦，找出二面角的平面角，然后通过解三角形，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．
（3）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．

名师点评

本题考点：

二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．

考点点评：

本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，直线与平面所成的角，其中熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直、线线垂直、面面垂直之间的相互转化及线面夹角的定义，是解答本题的关键．

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(√(21))/(7)