如图三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P-AC-B为120°，PC=2，AB=23．（Ⅰ）求证：AC⊥BD；（Ⅱ）求BD与底面ABC所成角的正弦值．

Question

2√(3)．

（Ⅰ）求证：AC⊥BD；
（Ⅱ）求BD与底面ABC所成角的正弦值．√(3)

3

3

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AC中点E，连DE、BE，
则DE∥PC，PC⊥AC
∴DE⊥AC …（2分）
又△ABC是正三角形可得BE⊥AC
由线面垂直的判定定理知AC⊥平面DEB，又BD⊂平面BED
∴AC⊥BD                             …（5分）  
（Ⅱ）由（Ⅰ）中知DE⊥AC，BE⊥AC
∴∠DEB是二面角P-AC-B的平面角，∴∠DEB=120°
又AB=2√(3)其中线 BE=(√(3))/(2)AB＝3DE＝(1)/(2)PC＝1
∵AC⊥平面BDE，AC⊂平面ABC
∴平面ABC⊥平面BDE且交线为BE，…（7分）
过D作平面ABC的垂线DF，垂足F必在直线BE上  
又∠DEB=120°，∴设F在BE延长线上，则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角         …（9分）
又△DEB中 DB²=DE²+BE²-2BE•DEcos120°=13，∴BD=√(13)
由正弦定理：(DE)/(sin∠DBE)＝(√(13))/(sin120°)，
∴sin∠DBE＝(√(39))/(26)，即BD与底面ABC所成的角的正弦值为(√(39))/(26)…（12分） 2√(3)

3

33其中线 BE=(√(3))/(2)AB＝3DE＝(1)/(2)PC＝1
∵AC⊥平面BDE，AC⊂平面ABC
∴平面ABC⊥平面BDE且交线为BE，…（7分）
过D作平面ABC的垂线DF，垂足F必在直线BE上  
又∠DEB=120°，∴设F在BE延长线上，则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角         …（9分）
又△DEB中 DB²=DE²+BE²-2BE•DEcos120°=13，∴BD=√(13)
由正弦定理：(DE)/(sin∠DBE)＝(√(13))/(sin120°)，
∴sin∠DBE＝(√(39))/(26)，即BD与底面ABC所成的角的正弦值为(√(39))/(26)…（12分） (√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

3

33222AB＝3DE＝(1)/(2)PC＝1
∵AC⊥平面BDE，AC⊂平面ABC
∴平面ABC⊥平面BDE且交线为BE，…（7分）
过D作平面ABC的垂线DF，垂足F必在直线BE上  
又∠DEB=120°，∴设F在BE延长线上，则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角         …（9分）
又△DEB中 DB²=DE²+BE²-2BE•DEcos120°=13，∴BD=√(13)
由正弦定理：(DE)/(sin∠DBE)＝(√(13))/(sin120°)，
∴sin∠DBE＝(√(39))/(26)，即BD与底面ABC所成的角的正弦值为(√(39))/(26)…（12分） DE＝(1)/(2)111222PC＝1
∵AC⊥平面BDE，AC⊂平面ABC
∴平面ABC⊥平面BDE且交线为BE，…（7分）
过D作平面ABC的垂线DF，垂足F必在直线BE上  
又∠DEB=120°，∴设F在BE延长线上，则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角         …（9分）
又△DEB中 DB²2=DE²2+BE²2-2BE•DEcos120°=13，∴BD=√(13)
由正弦定理：(DE)/(sin∠DBE)＝(√(13))/(sin120°)，
∴sin∠DBE＝(√(39))/(26)，即BD与底面ABC所成的角的正弦值为(√(39))/(26)…（12分） √(13)

13

1313
由正弦定理：(DE)/(sin∠DBE)＝(√(13))/(sin120°)，
∴sin∠DBE＝(√(39))/(26)，即BD与底面ABC所成的角的正弦值为(√(39))/(26)…（12分） (DE)/(sin∠DBE)DEDEDEsin∠DBEsin∠DBEsin∠DBE＝(√(13))/(sin120°)√(13)√(13)√(13)

13

1313sin120°sin120°sin120°，
∴sin∠DBE＝(√(39))/(26)，即BD与底面ABC所成的角的正弦值为(√(39))/(26)…（12分） sin∠DBE＝(√(39))/(26)√(39)√(39)√(39)

39

3939262626，即BD与底面ABC所成的角的正弦值为(√(39))/(26)…（12分） (√(39))/(26)√(39)√(39)√(39)

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3939262626…（12分）