已知曲线C的方程为：ax2+ay2-2a2x-4y=0（a≠0，a为常数）．（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断

Question

已知曲线C的方程为：ax²+ay²-2a²x-4y=0（a≠0，a为常数）．
（1）判断曲线C的形状；
（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；
（3）设直线l：y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．

Answer 1

（1）将曲线C的方程化为(x−a)2+(y−(2)/(a))2＝a2+(4)/(a2)--（2分）
可知曲线C是以点（a，(2)/(a)）为圆心，以√(a2+(4)/(a2))为半径的圆．-----------------------------（4分）
（2）△AOB的面积S为定值．-------------------------------------------（5分）
证明如下：
在曲线C的方程中令y=0得ax（x-2a）=0，得点A（2a，0），---------------------------（6分）
在曲线C的方程中令x=0得y（ay-4）=0，得点B（0，(4)/(a)），--------------------------（7分）
∴S=(1)/(2)|OA||OB|=(1)/(2)|2a||(4)/(a)|=4（为定值）．----------------------------------------（9分）
（3）∵圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，
∴圆心（a，(2)/(a)）在MN的垂直平分线上，∴(2)/(a2)=(1)/(2)，∴a=±2，--------------------（11分）
当a=-2时，圆心坐标为（-2，-1），圆的半径为√(5)，
圆心到直线l：y=-2x+4的距离d=(|−4−1−4|)/(√(5))=(9)/(作业帮用户2016-12-10为您推荐：问题解析（1）把方程化为圆的标准方程，可得结论；（2）求出A，B的坐标，即可得出△AOB的面积S为定值；（3）由圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，可得圆心（a，(2)/(a)）在MN的垂直平分线上，从而求出a，再判断a=-2不合题意即可．名师点评本题考点：直线和圆的方程的应用．考点点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．广告扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)