真空室中有如图甲所示的装置，电极K持续发出的电子（初速不计）经过电场加速后，从小孔O沿水平放置的偏转极板M、N的中心轴线OO′射入．M、N板长均为L，间距为d，偏转极板右边缘到荧光

Question

真空室中有如图甲所示的装置，电极K持续发出的电子（初速不计）经过电场加速后，从小孔O沿水平放置的偏转极板M、N的中心轴线OO′射入．M、N板长均为L，间距为d，偏转极板右边缘到荧光屏P（足够大）的距离为S．M、N两板间的电压U_MN随时间t变化的图线如图乙所示．调节加速电场的电压，使得每个电子通过偏转极板M、N间的时间等于图乙中电压U_MN的变化周期T．已知电子的质量、电荷量分别为m、e，不计电子重力．

（1）求加速电场的电压U₁；
（2）欲使不同时刻进入偏转电场的电子都能打到荧光屏P上，求图乙中电压U₂的范围；
（3）证明在（2）问条件下电子打在荧光屏上形成亮线的长度与距离S无关．

Answer 1

（1）对粒子在加速电场中加速的过程，应用动能定理得：
eU1＝(1)/(2)m

v

2 0

−0
粒子在水平方向上做匀速直线运动，则L=v₀T
解得电压U₁=(mL2)/(2eT2)
（2）t=0时刻进入偏转电场的电子，先作类平抛运动，后作匀速直线运动，射出电场时沿垂直于板面方向偏移的距离y最大．
U₂作用的时间为(T)/(2)，偏转位移为y1＝(1)/(2)×(eU2)/(md)((T)/(2))2
剩下的(T)/(2)时间内，粒子做匀速直线运动，此时垂直于极板方向的平均速度为匀加速运动时的两倍，则y₂=2y₁
要使粒子能射出平行板，则y1+y2≤(d)/(2)
联立解得  U₂≤(4md2)/(3eT2)
（3）对满足（2）问条件下任意确定的U₂，不同时刻射出偏转电场的电子沿垂直于极板方向的速度均为v_y=(qU2T)/(2md)，
电子速度偏转角的正切值均为tanα＝(qU2T)/(2mdv0)＝(qU2T2)/(2mdL)，
电子射出偏转电场时的偏转角度均相同，即速度方向相同，
不同时刻射出偏转电场的电子沿垂直于极板方向的侧移距离可能不同，侧移距离的最大值与最小值之差△y＝(eU2)/(md)((T)/(2))2，△y与U₂有关．因电子射出时速度方向相同，所以在屏上形成亮线的长度等于△y可知，屏上形成亮线的长度与P到极板M、N右边缘的距离S无关．
答：（1）加速电场的电压U₁为(mL2)/(2eT2)；
（2）欲使不同时刻进入偏转电场的电子都能打到荧光屏P上，图乙中电压U₂的范围为U₂≤(4md2)/(3eT2)；
（3）证明如上．