如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=45，∠BAC=45°．（1

Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x²-12x+36=0的两根，BC=4√(5)，∠BAC=45°．

（1）求点A，C的坐标；
（2）反比例函数y=(k)/(x)的图象经过点B，求k的值；
（3）在y轴负半轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解一元二次方程x²-12x+36=0，解得：x₁=x₂=6，
∴OA=OC=6，
∴A（-6，0），C（6，0）；

（2）如图1，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵∠BAC=45°，
∴AE=BE，
设BE=x，
∵BC=4√(5)，
∴CE=√(80-x2)，
∵AE+CE=OA+OC，
∴x+√(80-x2)=12，
整理得：x²-12x+32=0，
解得：x₁=4（不合题意舍去），x₂=8
∴BE=8，OE=8-6=2，
∴B（2，8），
把B（2，8）代入y=(k)/(x)，得k=16．

（3）存在．
如图2，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，
则(PD)/(OA)=(DB)/(OP)，
即(OP+8)/(6)=(2)/(OP)，
解得：OP=-4+2√(7)或-4-2√(7)，
则P点坐标为（0，-2√(7)-4）或（0，-4+2√(7)）（不合题意舍去）．
故点P的坐标为：（0，-2√(7)-4）．