如图,设P1,P2,P3,…,Pn,是圆O内接正n边形的顶点,P是圆O上的任意点,求证：向量PP1ˆ2+PP2ˆ2+...+PPnˆ2为定值

Question

如图,设P1,P2,P3,…,Pn,是圆O内接正n边形的顶点,P是圆O上的任意点,
求证：向量PP1ˆ2+PP2ˆ2+...+PPnˆ2为定值

Answer 1

向量PPi=向量PO+向量OPi,i=1,2..,n
向量PPi^2=向量PO^2+向量OPi^2+2向量PO*向量OPi=2R^2+2向量PO*向量OPi,i=1,2,..,n
所以,向量PP1ˆ2+PP2ˆ2+...+PPnˆ2=2nR^2+2向量PO*(向量OP1+OP2+...+OPn)=2nR^2
其中R为圆半径.