如图，三个面积均为S的金属板A、B、C水平放置，A、B相距d1，B、C相距d2，A、C接地，构成两个平行板电容器．上板A中央有小孔D．B板开始不带电．质量为m、电荷量为q（q＞0）的液滴从小孔D上

Question

如图，三个面积均为S的金属板A、B、C水平放置，A、B相距d₁，B、C相距d₂，A、C接地，构成两个平行板电容器．上板A中央有小孔D．B板开始不带电．质量为m、电荷量为q（q＞0）的液滴从小孔D上方高度为h处的P点由静止一滴一滴落下．假设液滴接触B板可立即将电荷全部传给B板．油滴间的静电相互作用可忽略，重力加速度取g．
（1）若某带电液滴在A、B板之间做匀速直线运动，此液滴是从小孔D上方落下的第几滴？
（2）若发现第N滴带电液滴在B板上方某点转为向上运动，求此点与A板的距离H．
（以空气为介质的平行板电容器电容C=(S)/(4πkd)，式中S为极板面积，d为极板间距，k为静电力常量．）

Answer 1

（1）两平行板电容器的电容分别为：
C₁=(S)/(4πkd1)，C₂=(S)/(4πkd2)，
设第n滴带电液滴可在A、B板间做匀速直线运动，
当第n滴带电液滴在A、B板间时，B板所带电荷量为：Q₁+Q₂=（n-1）q，
Q₁、Q₂分别是金属板B上下两个表面的电荷量，
设B板电势为U，则Q₁=C₁U，Q₂=C₂U，
A、B两板间的电场强度：E₁=(U)/(d1)，
由于第n滴带电液滴在A、B间做匀速直线运动，
由平衡条件得：qE₁=mg，解得：n=(mgS)/(4πkq2)（1+(d1)/(d2)）+1；
（2）当第N-1滴带电液滴在B板上时，
B板电势为U′，B板所带电荷量为：Q₁′+Q₂′=（N-1）q，
由题意可知，第N滴带电液滴会在下落到距离A板距离为H（H＜d₁）时速度为零，
此时液滴所在位置的电势为：U_H′=(HU′)/(d1)，
由能量守恒定律得：qU_H′=mg（h+H），
解得：H=(mghS(1+(d1)/(d2)))/(4πkq2(N−1)−mgS(1+(d1)/(d2)))；
答：（1）若某带电液滴在A、B板之间做匀速直线运动，此液滴是从小孔D上方落下的第(mgS)/(4πkq2)（1+(d1)/(d2)）+1滴．
（2）若第N滴带电液滴在B板上方某点转为向上运动，此点与A板的距离H为(mghS(1+(d1)/(d2)))/(4πkq2(N−1)−mgS(1+(d1)/(d2)))．