在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是[2，22][2，22]．

Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，F是侧面BCC₁B₁内的动点，且A₁F∥平面D₁AE，则A₁F与平面BCC₁B₁所成角的正切值的取值范围是

[2，2√(2)]

[2，2√(2)]

．

Answer 1

设平面AD₁E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点
分别取B₁B、B₁C₁的中点M、N，连接AM、MN、AN，则
∵A₁M∥D₁E，A₁M⊄平面D₁AE，D₁E⊂平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN内的相交直线
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此结合A₁F∥平面D₁AE，
可得直线A₁F⊂平面A₁MN，即点F是线段MN上上的动点．
设直线A₁F与平面BCC₁B₁所成角为θ
运动点F并加以观察，可得
当F与M（或N）重合时，A₁F与平面BCC₁B₁所成角等于∠A₁MB₁，
此时所成角θ达到最小值，满足tanθ=(A1B1)/(B1M)=2；
当F与MN中点重合时，A₁F与平面BCC₁B₁所成角达到最大值，
满足tanθ=(A1B1)/((√(2))/(2)B1M)=2√(2)，
∴A₁F与平面BCC₁B₁所成角的正切取值范围为[2，2√(2)]
故答案为：[2，2√(2)]．