在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A的中点，M是AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则N满足条件时，有MN⊥A1C1．

Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是棱AD，DD₁，D₁A₁，A₁A的中点，M是AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则N满足条件______时，有MN⊥A₁C₁．

Answer 1

（1）连接EG、EM、GM、BD
∵正方形AA₁D₁D中，E、G分别为AD、A₁D₁的中点
∴EG∥AA₁
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁
∴EG⊥平面A₁B₁C₁D₁
∵A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁D₁
∴A₁C₁⊥EG
∵在△ABD中，EM是中位线
∴EM∥BD
∵BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形，B₁D₁∥BD
∴EM∥B₁D₁
∵正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁
∴A₁C₁⊥EM
∵EM∩EG=E，EM、EG⊂平面EGM
∴A₁C₁⊥平面EGM
因此，当点N在EG上时，直线MN⊂平面EGM，有MN⊥A₁C₁成立．
故答案为：点N在线段EG上．