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与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点()A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个
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与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点( )
A. 有且只有1个
B. 有且只有2个
C. 有且只有3个
D. 有无数个
A. 有且只有1个
B. 有且只有2个
C. 有且只有3个
D. 有无数个
▼优质解答
答案和解析
在正方体ABCD-A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系,
并设该正方体的棱长为1,连接B1D,并在B1D上任取一点P,
因为
=(1,1,1),
所以设P(a,a,a),其中0≤a≤1.
作PE⊥平面A1D,垂足为E,再作EF⊥A1D1,垂足为F,
则PF是点P到直线A1D1的距离.
所以PF=
;
同理点P到直线AB、CC1的距离也是
.
所以B1D上任一点与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等,
所以与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个.
故选D.
并设该正方体的棱长为1,连接B1D,并在B1D上任取一点P,
因为
DB1 |
所以设P(a,a,a),其中0≤a≤1.
作PE⊥平面A1D,垂足为E,再作EF⊥A1D1,垂足为F,
则PF是点P到直线A1D1的距离.
所以PF=
a2+(1−a)2 |
同理点P到直线AB、CC1的距离也是
a2+(1−a)2 |
所以B1D上任一点与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等,
所以与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个.
故选D.
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