在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2.(1)证明:当点E在棱AB上移动时,D1E垂直A1D;(2)当E为AB的中点...在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2.(1)证明:当点E在棱AB上移动时,D1E垂直A1D;(2)当E为AB的中点时,求二面角D

Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2.(1)证明:当点E在棱AB上移动时,D1E垂直A1D;(2)当E为AB的中点...
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2.(1)证明:当点E在棱AB上移动时,D1E垂直A1D;(2)当E为AB的中点时,求二面角D1-EC-D的余弦值和点B到平面ECB1的距离.

Answer 1

1、连结A1D,交AD1于F,
∵AD=AA1,
∴矩形ADD1A1是正方形,
∴A1D⊥AD1,
∵AB⊥平面ADD1A1,
A1D∈平面ADD1A1,
∴AB⊥A1D,
∵AB∩AD1=A,
∴A1D⊥平面ABD1,
∵D1E∈平面ABD1,
∴D1E⊥A1D.
2、在底面矩形ABCD中,连结DE、CE,
AE=BE=1=AD=BC,
∴△ADE和△BEC都是等腰RT△,
∴〈AED=〈BEC=45°,
∴〈DEC=180°-45°-45°=90°,
即DE⊥CE,
∵DD1⊥平面ABCD,
BC∈平面ABCD,
∴DD1⊥CD,
∵DD1∩DE=D,
∴CE⊥平面DD1E,
∵D1E∈平面D1DE,
∴CE⊥D1E,
∴〈D1ED是二面角D1-EC-D的平面角,
根据勾股定理,
DE=√2,
D1E=√（DD1^2+DE^2)=√3,
∴cos∴二面角D1-EC-D的余弦值为√6/3.
S△BCE=BE*BC/2=1*1/2=1/2,
∴VB1-BEC=S△BCE*BB1/3=1/6,
B1E=√2,
B1C=√2,
∴B1E=B1C,
CE=√2,
△B1EC是正△,
S△B1EC=（√3/4）*（√2）^2=√3/2,
设B至平面ECB1距离为d,
VB-ECB1=S△ECB1*d/3=√3d/6,
VB1-BEC=VB-ECB1,
1/6=√3d/6,
∴d=√3/3,
∴点B到平面ECB1的距离为√3/3.