三个电容器分别有不同的电容值C1、C2、C3．现把这三个电容器组成图示的（a）、（b）、（c）、（d）四种混联电路，试论证：是否可以通过适当选择C1、C2、C3的数值，使其中某两种混联电路

Question

三个电容器分别有不同的电容值C₁、C₂、C₃．现把这三个电容器组成图示的（a）、（b）、（c）、（d）四种混联电路，试论证：是否可以通过适当选择C₁、C₂、C₃的数值，使其中某两种混联电路A、B间的等效电容相等．

Answer 1

由电容C′、C″组成的串联电路的等效电容为  C_串=(C′C″)/(C′+C″)，由电容C′、C″组成的并联电路的等效电容为 C_并=C′+C″．
利用此二公式可求得图示的4个混联电路A、B间的等效电容C_a、C_b、C_c、C_d分别为：
   C_a=(C1C2)/(C1+C2)+C₃=(C1C2+C1C3+C2C3)/(C1+C2)＞C₃  ①
  C_b=(C1C3)/(C1+C3)+C₂=(C1C2+C1C3+C2C3)/(C1+C3)＞C₂  ②
  C_c=((C1+C2)C3)/((C1+C2)+C3)=(C1C3+C2C3)/(C1+C2+C3)＜C₃  ③
   C_d=((C1+C3)C2)/((C1+C3)+C2)=(C1C2+C2C3)/(C1+C2+C3)＜C₂  ④
由①、③式可知
   C_a≠C_c ⑤
由②、④式可知
   C_b≠C_d ⑥
由①、②式可知
  C_a≠C_b  ⑦
由③、④式可知
  C_c≠C_d  ⑧
若C_a=C_d，由①、④式可得：
 C₁²+2C₁C₂+C₁C₃+C₂C₃=0
因为C₁、C₂和C₃均大于0，上式不可能成立，因此
 C_a≠C_d  ⑨
若 C_b=C_c，由②、③式可得：
 C₁²+2C₁C₃+C₁C₂+C₂C₃=0
因为C₁、C₂和C₃均大于0，上式不可能成立，因此
   C_b≠C_c ⑩
综合以上分析，可知这四个混联电路的等效电容没有一对是相等的．
答：这四个混联电路的等效电容没有一对是相等的．