选修4-5：不等式选讲已知a2+b2+c2=1（a，b，c∈R），求a+b+c的最大值．

Question

选修4-5：不等式选讲
已知a²+b²+c²=1（a，b，c∈R），求a+b+c的最大值．

Answer 1

（法一）∵a，b，c∈R，a²+b²+c²=1，
∴（a+b+c）²=（a•1+b•1+c•1）²≤（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）=3．   5分
当且仅当a＝b＝c＝(√(3))/(3)时，a+b+c取得最大值√(3)．7分
（法二）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≤a²+b²+c²+（a²+b²）+（b²+c²）+（a²++c²）3分
∵a²+b²+c²=1，
∴（a+b+c）²≤3，当且仅当a＝b＝c＝(√(3))/(3)时等号成立，6分
∴a+b+c的最大值为√(3)． 7分．