如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中．AB=AA1，D是BC上的一点，且AD⊥C1D，（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在一点P，使直线PB1⊥平面AC1D？若存在，找出这个点，并加以证明；若

Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中．AB=AA₁，D是BC上的一点，且AD⊥C₁D，
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）在棱CC₁上是否存在一点P，使直线PB₁⊥平面AC₁D？若存在，找出这个点，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接A₁C交AC₁于E点，则AE=EC₁．
∵CC₁⊥AD，且AD⊥C₁D，CC₁∩C₁D=C₁，
∴AD⊥侧面BCC₁B₁，∴AD⊥BC．
∵△ABC是正三角形，∴D是BC的中点．
∴ED∥A₁B．
∵A₁B⊄平面AC₁D，ED⊂AC₁D．
∴A₁B∥平面AC₁D．
（Ⅱ）在棱CC₁上存在一点P，P为CC₁的中点，使直线PB₁⊥平面AC₁D．下面给出证明：
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁．可得CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AD．
又AD⊥C₁D，∴AD⊥BC．
∵C₁D∩CC₁=C₁，∴AD⊥平面BCC₁B₁，∴AD⊥B₁P．
∵△ABC是正三角形，∴D为边BC的中点．
在正方形BCC₁B₁中，可得△CC₁D≌△C₁B₁P，
∴∠CC₁D=∠C₁B₁P．∴∠CC1D+∠C1PB1＝90°，∴B₁P⊥C₁D．
∵AD∩DC₁=D，∴B₁P⊥平面AC₁D．