（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），且点P（0，1）在C1上．（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切

Question

（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），且点P（0，1）在C₁上．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂：y²=4x相切，求直线l的方程．

Answer 1

（1）因为椭圆C₁的左焦点为F₁（-1，0），所以c=1，
点P（0，1）代入椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1，得(1)/(b2)＝1，即b=1，
所以a²=b²+c²=2
所以椭圆C₁的方程为(x2)/(2)+y2＝1．
（2）直线l的斜率显然存在，
设直线l的方程为y=kx+m，
由

(x2)/(2)+y2＝1

y＝kx+m

，消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
因为直线l与椭圆C₁相切，
所以△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0
整理得2k²-m²+1=0①
由

y2＝4x

y＝kx+m

，消去y并整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0
因为直线l与抛物线C₂相切，所以△=（2km-4）²-4k²m²=0
整理得km=1②
综合①②，解得

作业帮用户 2016-12-13

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问题解析

（1）因为椭圆C₁的左焦点为F₁（-1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1，得b=1，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，由

(x2)/(2)+y2＝1

y＝kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．因为直线l与椭圆C₁相切，所以△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0．由此能求出直线l的方程．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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